​大卫 希尔伯特

大卫 希尔伯特

出生 1862 年 1 月 23 日，普鲁士柯尼斯堡附近的维劳（今俄罗斯加里宁格勒）

逝世 1943 年 2 月 14 日，德国哥廷根

希尔伯特在几何学方面的工作在欧几里德之后对该领域产生了最大的影响。对欧几里得几何公理的系统研究使希尔伯特提出了21 个这样的公理，并分析了它们的意义。他在数学和物理学的许多领域做出了贡献。

大卫希尔伯特的父亲奥托希尔伯特是一位高级枢密院法官的儿子。奥托是一名县法官，她嫁给了柯尼斯堡商人卡尔·厄德曼的女儿玛丽亚·特蕾莎·厄德曼。玛丽亚对哲学、天文学和素数着迷。奥托希尔伯特有一个兄弟是律师，另一个是体育馆的主任。奥托晋升为高级法官后，他和玛丽亚搬到了13岁位于柯尼斯堡的 Kirchenstrasse，这里是大卫度过大部分童年时光的家。他受到父亲的严格教养，父亲是一个按照标准生活的人，每天都走同样的路，每年只离开柯尼斯堡一次过一年一度的家庭假期。大卫是他父母的第一个孩子，也是唯一的儿子。他的妹妹 Elsie 出生时，他才 6 岁。

一个人开始上学的通常年龄是六岁，但大卫直到八岁才进入他的第一所学校皇家弗里德里希斯科莱格。几乎可以肯定，他的母亲一直在家教他直到他八岁。Friedrichskolleg，也被称为Collegium Fridericianum，在1872年进入Friedrichskolleg的体育馆之前，大卫参加了两年的初级课程. 虽然这所学校被誉为柯尼斯堡最好的学校，但重点是拉丁语和希腊语，数学被认为不太重要。Friedrichskolleg 学院根本没有教授科学。主要的学习方法是让学生记住大量材料，这是大卫不太擅长的。对于一个对数学产生巨大影响的人来说，也许令人惊讶的是，他在学校并没有大放异彩。在后来的生活中，他将自己描述为弗里德里希学校里一个“沉闷而愚蠢”的男孩。虽然这话无疑是谦虚的，但它们可能反映了希尔伯特自己对他的学生时代的感受。1879年 9月他从 Friedrichskolleg 赚到了 Wilhelm 体育馆，在那里度过了他最后一年的学业。这里更强调数学，老师们以一种在弗里德里希斯科莱格学校没有发生过的方式鼓励原创思维。希尔伯特高兴得多，他在所有科目中的表现都有所提高。他获得了数学最高分，他的最终报告指出：-

对于数学，他总是表现出非常活泼的兴趣和透彻的理解：他以非常愉快的方式掌握了学校教授的所有材料，并且能够踏实而巧妙地应用它。

从威廉体育馆毕业后，他于1880年秋天进入柯尼斯堡大学。在他的第一个学期，他学习了微积分、行列式理论和曲面曲率的课程。然后按照当时德国的传统，在第二学期他去了海德堡，在那里他听了拉撒路富克斯的讲座。回到哥尼斯堡会话的开始1881年- 82，希尔伯特出席了讲座数论和功能由理论海因里希·韦伯。1882 年春，赫尔曼·闵可夫斯基在柏林学习后返回柯尼斯堡。希尔伯特和同样是博士生的闵可夫斯基很快成为了亲密的朋友，他们对彼此的数学进步产生了强烈的影响。Ferdinand von Lindemann于1883 年被任命到 Königsberg 接替Heinrich Weber，而Adolf Hurwitz于1884 年春天被任命为那里的杰出教授。赫维茨和希尔伯特成为了亲密的朋友，另一种友谊是希尔伯特数学发展的重要因素，而林德曼则成为希尔伯特的论文导师。他接受了他的口腔检查11年12月1884年题为他的论文über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen Ⓣ. 林德曼曾建议希尔伯特研究某些代数形式的不变性质，而希尔伯特在设计林德曼未曾设想的方法时表现出极大的独创性。Minkowski读完论文后，写信给希尔伯特（见[ 8 ]）：-

我怀着极大的兴趣研究了您的工作，并对可怜的不变量在设法消失之前必须经历的所有过程感到高兴。我没想到在柯尼斯堡能得到这么好的数学定理。

1885 年2月7日，他在公开辩论中为两个主张辩护。希尔伯特选择的命题之一是关于物理学的，另一个是关于哲学的。这是他博士的最后阶段，然后正式授予。他花了一个月后，他的博士学位回吐的奖励，并通过的国家考试，使他有资格教的体育馆，他还参加了林德曼“S上的几何形状当然普吕克s的线路几何和”谎言的球形模型，他还参加了Hurwitz关于模块化功能的讲座。Hurwitz建议 Hilbert 到莱比锡进行研究访问，与Felix Klein交谈. 接受了这个建议，他前往莱比锡，参加了克莱因的讲座。他还结识了Georg Pick和Eduard Study。Klein建议 Hilbert 和Study都应该访问 Erlangen 并与Paul Gordan讨论他们的研究，他是不变论的领先专家。然而，当时并未进行访问。克莱恩随后告诉书房和希尔伯特，他们应该去巴黎。他们都在1886年初，希尔伯特在三月底去了。克莱因已经指示他们应该访问哪些巴黎数学家，他们按照他的指示去做，交替地写信给克莱因，讲述他们的经历。他们访问的第一批数学家之一是亨利·庞加莱，几天后他再次访问。两个年轻的访客互相大声朗读给克莱恩的信，以免他们都告诉他相同的事情。他依次回答每个人，明确表示他对他们一视同仁。在巴黎，Camille Jordan为 Hilbert and Study举办了晚宴，George-Henri Halphen、Amédée Mannheim和Gaston Darboux被邀请。这一次法国数学家都出于礼貌对他们的德国客人说德语，他们后来向克莱因抱怨数学对话非常肤浅。他们也对与Pierre Bonnet的会面感到失望，他们认为他对于数学讨论来说太老了。与他们相处得最好的数学家是查尔斯·赫米特。尽管他们认为他很老（他64 岁），但他“非常友好和好客”，并讨论了不变论的大问题。由于他们发现他们的访问特别有用，他们回到了埃尔米特几天后第二次访问的家。很明显，希尔伯特在巴黎期间的思想完全是在数学上，他没有写任何观光。在访问即将结束时，他生病了，可能想家了。当然，到1886 年春天，当他回到德国时，他的精神状态很好。在返回柯尼斯堡的途中，他拜访了哥廷根，克莱因正要在那里就座，在那里他遇到了赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。告诉施瓦茨他接下来要去柏林，希尔伯特被建议期待利奥波德克罗内克的冷遇。然而，希尔伯特形容他在柏林的欢迎非常友好。

从柏林，希尔伯特继续回到柯尼斯堡，在那里他准备提交关于不变论的适应论文。他还必须在阿尔贝蒂娜的主礼堂进行就职演讲，并且从希尔伯特提供的两个选项中，他被要求发表演讲最一般的周期性功能。克莱恩告诉希尔伯特，柯尼斯堡可能不是他适应的好地方，但希尔伯特很乐意这样做。他写信给克莱因 （例如参见[ 8 ]）：-

我很满足，也很高兴自己决定加入柯尼斯堡。与Lindemann教授，最重要的是与Hurwitz的持续交往不仅有趣，而且对我自己有利和刺激。Königsberg 的糟糕之处在于，我希望我明年能够通过再次旅行来克服这些事情，也许那时我会见到Gordan先生。

从1886 年到1895 年，他是 Königsberg 的一名教职员工，直到1892 年才成为一名私人教师，然后在1893 年被任命为正教授之前担任了一年的杰出教授。他在 Königsberg 获得培训后谈到的巡回演出发生在1888 年[ 126 ]：-

... 他于1888年3 月出发，参观了德国的几个主要数学中心，包括柏林、莱比锡和哥廷根。在一个月的时间里，他与大约 20 位数学家进行了交谈，他从中获得了对全国当前研究兴趣的令人振奋的概述。

在柏林，他遇到了Kronecker和Weierstrass，他们向年轻的希尔伯特提出了两种截然不同的未来观点。接下来，在莱比锡，他终于遇到了保罗·戈尔丹 [ 126 ] :-

……两人一拍即合，因为两人都喜欢谈论数学。

希尔伯特在返回柯尼斯堡之前在哥廷根度过了八天。1892 年10 月12日，他娶了他的二表哥凯瑟·杰罗什 (Käthe Jerosch) 。他们有一个儿子弗朗茨希尔伯特出生于1893 年8月11日。 在1892年施瓦茨从哥廷根搬到柏林占据维尔斯特拉斯的椅子和克莱因希望提供希尔伯特的空缺哥廷根椅子。然而克莱因未能说服他的同事，海因里希·韦伯被任命为主席。当韦伯出现时，克莱因可能并不太不高兴

三年后搬到斯特拉斯堡担任主席，因为这次他成功实现了任命希尔伯特的目标。因此，在1895 年，希尔伯特被任命为哥廷根大学数学系主任，在那里他继续在他的职业生涯中任教。

希尔伯特1900 年后在数学界的显赫地位意味着其他机构都想引诱他离开哥廷根，1902 年，柏林大学提供了希尔伯特·福克斯的主席职位。希尔伯特拒绝了柏林的椅子，但前提是他利用这个提议与哥廷根讨价还价，并说服他们设立新椅子，将他的朋友闵可夫斯基带到哥廷根。

正如我们在上面看到的，希尔伯特的第一部作品是关于不变论的，并且在1888 年，他证明了他著名的基定理。二十年前，Gordan使用高度计算的方法证明了二进制形式的有限基定理。由于计算难度太大，将Gordan的工作推广到具有两个以上变量的系统的尝试失败了。希尔伯特本人起初试图效仿戈尔丹的做法，但很快就意识到必须采取新的进攻方式。他发现了一种全新的方法，它以一种完全抽象的方式证明了任意数量变量的有限基定理。尽管他证明了有限基存在，但他的方法并没有构造这样的基。

Hilbert 向Mathematische Annalen提交了证明有限基定理的论文。然而，戈尔丹是《数学年鉴》的不变理论专家，他发现希尔伯特的革命性方法难以理解。他审阅了这篇论文，并将他的评论发送给了克莱因：-

问题不在于形式……而在于更深层次。希尔伯特不屑按照正式规则表达他的想法，他认为没有人反对他的证明就足够了……他满足于认为他的命题的重要性和正确性就足够了。......对于'Annalen'的全面工作，这是不够的。

然而，希尔伯特曾通过他的朋友了解到赫尔维茨约戈尔丹的信克莱因和Hilbert写自己克莱因在有力的条件： -

......我不准备更改或删除任何内容，对于这篇论文，我非常谦虚地说，只要没有对我的推理提出明确且无可辩驳的反对意见，这就是我的最后一句话。

在克莱因收到希尔伯特和戈尔丹这两封信的时候，希尔伯特是一名助理讲师，而戈尔丹是公认的世界领先的不变论专家，也是克莱因的密友。然而克莱恩认识到希尔伯特工作的重要性，并向他保证，它会出现在年鉴中，没有任何变化，确实如此。

希尔伯特在后来的论文中扩展了他的方法，再次提交给数学年鉴，克莱因在阅读手稿后写信给希尔伯特说：

我毫不怀疑这是《年鉴》出版过的关于一般代数的最重要的著作。

在1893年，而仍处于希尔伯特康尼斯堡开始工作Zahlbericht Ⓣ关于代数数论。在德国数学学会要求协会在创建后三年这一重大报告1890年。The Zahlbericht (1897)是Kummer、Kronecker和Dedekind作品的精彩综合，但也包含了大量 Hilbert 自己的想法。当今“阶级场论”学科的思想都包含在这部作品中。Rowe 在[ 124 ]中将这项工作描述为：

... 不是传统意义上的 Bericht，而是一项原创研究，揭示了希尔伯特不仅仅是专家，无论多么有天赋。......他不仅综合了先前研究的结果......而且还形成了新的概念，这些概念塑造了代数数论研究的未来许多年的进程。

希尔伯特对Zahlbericht的序言的摘录是我们在此链接上的希尔伯特引述和关于希尔伯特的集锦中的引用7。 希尔伯特在几何学方面的工作在欧几里德之后对该领域产生了最大的影响。对欧几里得几何公理的系统研究使希尔伯特提出了21 个这样的公理，并分析了它们的意义。他于1899年出版了Grundlagen der Geometrie，将几何置于正式的公理化环境中。这本书继续出现在新版本中，并且对促进数学公理化方法产生了重大影响，数学是整个学科的主要特征之一。

20个 世纪。

点评算术基础DER几何学和其他的希尔伯特的书是在此链接。

有关Grundlagen der Mathematik 的更多信息位于 。

希尔伯特著名的23 个巴黎问题挑战（今天仍然挑战）数学家解决基本问题。希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上发表了著名的演讲《数学问题》。这是一场对未来世纪数学充满乐观的演讲，他认为开放性问题是该学科活力的标志：-

确定问题对一般数学科学进步的重要性……是不可否认的。... [ for ]只要一个知识分支提供了过剩的此类问题，它就会保持其生命力。......每个数学家都相信......每个数学问题都必须能够得到严格的解决......我们听到自己不断的呼喊：问题存在，寻求解决方案。你可以通过纯粹的思想找到它......

希尔伯特的问题包括连续统假设、实数的良序、哥德巴赫猜想、代数数幂的超越、黎曼假设、狄利克雷原理的扩展等等。许多问题在本世纪得到解决，每解决一个问题，都是数学界的一件大事。

有关 Hilbert 问题的更多信息，请参阅此链接。

今天，希尔伯特的名字通常是通过希尔伯特空间的概念来最好地记住的。Irving Kaplansky在[ 2 ] 中写道，解释了 Hilbert 导致这个概念的工作：

希尔伯特的工作积分方程在大约1909年，直接导致20日在功能分析-century研究（其中函数共同研究数学的分支）。这项工作也为他在无限维空间（后来称为希尔伯特空间）方面的工作奠定了基础，这个概念在数学分析和量子力学中很有用。利用他在积分方程上的结果，希尔伯特通过他关于动能气体理论和辐射理论的重要回忆录为数学物理学的发展做出了贡献。

许多人声称，1915 年希尔伯特在爱因斯坦之前发现了广义相对论的正确场方程，但从未声称优先。然而，文章[ 54 ]表明这种观点是错误的。在这篇论文中，作者令人信服地表明，希尔伯特于1915 年11月20日提交了他的文章，比爱因斯坦提交包含正确场方程的文章早了五天。爱因斯坦的文章发表于1915 年12月2日，但希尔伯特的论文（1915年12月6日）的证明不包含场方程。

正如[ 54 ]的作者所写：-

在他的论文的印刷版中，希尔伯特添加了对爱因斯坦结论性论文的引用，并对后者的优先权做出了让步：“在我看来，由此产生的引力微分方程与宏伟的广义广义理论是一致的。爱因斯坦在他后来的论文中建立的相对论”。如果希尔伯特只是将日期变更线改为“ 1915 年11月20日提交，修改于[ 1915 年12月2日之后的任何日期，爱因斯坦的结论性论文的日期] ”，那么以后就不会出现优先级问题。

在1934年和1939年的两卷算术基础DER Mathematik Ⓣ发表的目的是形成“证明理论”，直接检查数学的一致性。哥德尔1931 年的论文表明，这个目标是不可能的。

请参阅此链接。

希尔伯特对数学的许多分支做出了贡献，包括不变量、代数数域、泛函分析、积分方程、数学物理和变分微积分。他的第一个学生奥托·布卢门撒尔( Otto Blumenthal)很好地总结了他的数学能力[ 30 ] :-

在对数学天赋的分析中，人们必须区分创造新概念以产生新型思维结构的能力和感知更深层次联系和潜在统一性的天赋。在希尔伯特的案例中，他的伟大之处在于他的洞察力非常强大，能够深入问题的深处。他的所有作品都包含来自遥远领域的例子，只有他能够辨别出与手头问题的相互关联和联系。从这些，综合，他的艺术作品，最终被创造出来。就新思想的创造而言，我会把闵可夫斯基放在更高的位置，在经典的伟大思想中，高斯、伽罗瓦和黎曼. 但是当谈到洞察力时，只有少数最伟大的人能与希尔伯特相提并论。

在希尔伯特的学生赫尔曼外尔，著名的国际象棋世界冠军伊曼纽尔·拉斯克和恩斯特策梅罗。不过，名单包括许多其他法莫尔名称，包括威廉·阿克曼，费利克斯·伯恩斯坦，奥托·布卢门撒尔，理查德·库兰特，哈斯克尔库里，最大德恩，鲁道夫·富特，阿尔弗雷德·哈尔，乔治·哈默，埃里希·赫克，厄尔赫德里克，恩斯特·海林格，爱德华·卡斯纳，奥利弗凯洛格,Hellmuth Kneser、Otto Neugebauer、Erhard Schmidt、Hugo Steinhaus和Teiji Takagi。

在1930希尔伯特退休，但仅仅几年后，在1933年，在哥廷根的生活完全当纳粹上台和犹太讲师被开除改变。到1933 年秋天，大多数人已经离开或被解雇。希尔伯特虽然退休了，但仍然在讲课。在1933 - 34年的冬季学期，他每周讲一堂关于几何基础的讲座。完成这门课程后，他再也没有踏入学院。1942年初他在哥廷根散步时摔倒并摔断了手臂。这使他完全不活动，这似乎是他在事故发生一年后死亡的一个主要因素。

希尔伯特获得了许多荣誉。在1905年的匈牙利科学院给希尔伯特特别引证。He was awarded the Bolyai Prize in 1910 and elected a fellow of the Royal Society of London in 1928 . 在1930希尔伯特退休，柯尼斯堡的城市让他一个城市的荣誉市民。他发表了一个演讲，以六个著名的词结尾，显示了他对数学的热情和致力于解决数学问题的一生：-

Wir müssen wissen, wir werden wissen - 我们必须知道，我们将知道。

在1939年，他被授予米塔格-莱弗勒由获奖的科学瑞典科学院。他与Émile Picard分享了这个奖项。